스미스 차트 (2)

스미스차트 개요는 여기로

1. 스미스 차트의 기초 구조 이해하기

스미스 차트는 복소 임피던스(또는 어드미턴스)를 시각적으로 표현한 특수한 좌표계입니다. 이 좌표계에서, 복소수를 나타내는 두 축(실수부 R, 허수부 X)이 기하학적으로 원 형태로 재배치되어 있습니다.

• 중심점(1.0 지점):
  스미스 차트의 정 중앙은 정상화(normalization) 기준 임피던스(일반적으로 50Ω)로 나눈 값이 1.0인 지점을 의미합니다. 즉, 중앙점은 Z = Z_0 (예: Z_0 = 50Ω일 때 50Ω/50Ω = 1)의 임피던스를 나타냅니다. 이 점은 전송선로나 시스템의 기준 임피던스와 정확히 일치하는 상태, 즉 완전 매칭 상태를 상징합니다.
• 정규화(Normalization):
  부하 임피던스 Z_L을 차트에 표시하려면 Z_L을 기준 임피던스 Z_0으로 나누어 무차원화된 값 z_L = Z_L/Z_0를 이용합니다. 이를 통해 각기 다른 임피던스를 공통 스케일(1.0이 기준)로 표현할 수 있어, 다양한 임피던스 조건을 하나의 차트로 분석할 수 있게 됩니다.

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2. 실수부와 허수부를 판독하는 방법

스미스 차트 상에서 임피던스는 r + jx 형태로 표현됩니다. 여기서 r은 실수부(저항 성분), x는 허수부(리액턴스 성분)입니다.

• 실수부(R) 곡선:
  차트 안쪽에는 여러 개의 수평으로 휘어진 원들이 있으며, 이 원들 각각은 서로 다른 실수부 r 값을 나타냅니다. 중심부로 가까울수록 r 값이 1.0에 근접하고, 왼쪽으로 갈수록 r 값은 커지며, 오른쪽으로 갈수록 r 값이 작아집니다. 이 원들을 따라가며 특정 부하 임피던스의 실수부가 얼마인지를 판단할 수 있습니다.
• 허수부(X) 곡선:
  실수부 원과 직교하는 형태로 존재하는 일련의 원 혹은 곡선들이 허수부 x 값을 표현합니다. x 값이 양수면 유도성(Inductive) 리액턴스를, 음수면 용량성(Capacitive) 리액턴스를 나타냅니다. 차트의 상반부는 주로 양의 x(유도성 영역)를, 하반부는 음의 x(용량성 영역)를 의미합니다.

정리하자면, 스미스 차트 상에서 한 점의 위치를 알면 그 점을 통과하는 r 원과 x 곡선을 추적하여 해당 임피던스의 실수부와 허수부를 직관적으로 읽어낼 수 있습니다.

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3. 반사 계수(Reflection Coefficient, Γ)와 SWR 해석

스미스 차트는 임피던스뿐만 아니라 반사 계수와 정재파비(SWR) 정보도 동시에 제공하기 때문에 편리합니다.

• 반사 계수 Γ:
  차트 가장 바깥쪽 원둘레는 반사 계수의 크기(|Γ|)가 일정한 값을 갖는 원으로 해석할 수 있습니다. 차트 중심이 Γ=0, 즉 반사 없음(완전 매칭) 상태이고, 원의 가장자리가 |Γ|=1, 즉 전부 반사되는 상태를 의미합니다.
  부하 임피던스에 해당하는 점이 차트 중심에서 멀어질수록 반사 계수가 커집니다.
• 정재파비(SWR):
  스미스 차트에는 특정 반사 계수에 대응하는 정재파비(Standing Wave Ratio, SWR) 값도 표시될 수 있습니다. |Γ|가 작을수록 SWR은 1에 가까워지며, 이는 회로의 매칭 상태가 좋음을 의미합니다. 반대로 |Γ|가 커질수록 SWR은 증가하고, 이는 부정합이 크다는 뜻입니다.

  

  http://www.rfdh.com/

 

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4. 전송선로 변환(임피던스 회전)의 해석

매칭 네트워크 설계는 스미스 차트의 핵심 활용 분야 중 하나입니다. L(인덕터)와 C(커패시터) 같은 수동 소자를 부하 임피던스에 직렬 혹은 병렬로 추가하면, 임피던스 점이 차트 상에서 특정한 경로를 따라 이동하게 됩니다.

 

• 직렬 소자 추가 효과직렬 인덕터(L) 추가
  • 임피던스 변화: 인덕터의 임피던스는 로 나타나며, 허수부를 양(+) 방향으로 증가시킵니다.
  • 스미스 차트에서 이동 방향: 이는 차트 상에서 해당 점의 실수부 값은 유지한 채 리액턴스 값이 커지는 방향, 즉 상단(유도성 방향)으로 이동하게 됩니다.
  • 효과: 유도성 성분을 추가하는 효과를 가집니다.
  직렬 커패시터(C) 추가
  • 임피던스 변화: 커패시터의 임피던스는 로 나타나며, 허수부를 음(-) 방향으로 감소시킵니다.
  • 스미스 차트에서 이동 방향: 동일한 실수부 원 위에서 점이 하단(용량성 방향)으로 이동합니다.
  • 효과: 용량성 성분을 추가하는 효과를 가집니다.
  요약
  • 실수부 는 고정됩니다.
  • 리액턴스 만 변화하며, 차트 상에서 점은 수평 이동 없이 수직 방향으로 움직입니다.
  • 인덕터 추가: 상단으로 이동 (유도성 증가).
  • 커패시터 추가: 하단으로 이동 (용량성 증가).

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  병렬 소자 추가 효과병렬 인덕터(L) 추가
  • 어드미턴스 변화: 병렬 인덕터의 어드미턴스는 로, 허수부를 음(-) 방향으로 감소시킵니다.
  • 스미스 차트에서 이동 방향: 차트 상에서 용량성 성분을 감소시키는 방향으로 이동합니다.
  • 효과: 시스템의 유도성 성분을 증가시키는 결과를 가집니다.
  병렬 커패시터(C) 추가
  • 어드미턴스 변화: 병렬 커패시터의 어드미턴스는 로, 허수부를 양(+) 방향으로 증가시킵니다.
  • 스미스 차트에서 이동 방향: 차트 상에서 용량성 성분을 증가시키는 방향으로 이동합니다.
  • 효과: 시스템의 용량성 성분을 증가시키는 결과를 가집니다.
  요약
  • 어드미턴스를 기준으로 계산해야 하며, 이는 스미스 차트에서 특정 곡선을 따라 이동하는 효과를 보입니다.
  • 병렬 인덕터 추가: 유도성 성분 감소.
  • 병렬 커패시터 추가: 용량성 성분 증가.
   

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5. 주어진 임피던스(Z_L=100+j100)로부터 반사계수와 SWR 계산하기

이제 구체적인 예를 통해 스미스 차트를 활용한 계산 결과를 살펴보겠습니다. 특성 임피던스를 Z₀=50Ω로 가정하고, 부하 임피던스가 Z_L=100+j100Ω일 때, 정상화된 임피던스는 다음과 같습니다:

• 정규화된 임피던스: z_L = Z_L/Z₀ = (100+j100)/50 = 2 + j2

이 때 반사계수(Γ)는 다음과 같이 정의됩니다.

반사계수(Γ) = (Z_L - Z₀)/(Z_L + Z₀)

값을 대입하면:

Γ = ( (100+j100) - 50 ) / ( (100+j100) + 50 ) = (50+j100)/(150+j100)

크기를 구하면, |Γ| ≈ 0.62이고, 위상각은 약 30° 정도입니다.

• 반사계수의 크기(|Γ|): 약 0.62
• 반사계수의 위상각(∠Γ): 약 30°

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6. SWR, 반사손실(Return Loss) 및 추가 특성 계산

구한 반사계수를 통해 다른 파라미터들도 확인할 수 있습니다.

• SWR(정재파비):
  SWR = (1+|Γ|)/(1-|Γ|) = (1+0.62)/(1-0.62) = 1.62/0.38 ≈ 4.26
• 반사손실(Return Loss, RL):
  RL(dB) = -20·log₁₀(|Γ|) = -20·log₁₀(0.62) ≈ 4.15 dB
• 반사된 전력비:
  반사 전력비 = |Γ|² = (0.62)² ≈ 0.3844 (약 38.44% 반사)
• 미스매치 손실(Mismatch Loss, ML):
  ML(dB) = -10·log₁₀(1 - |Γ|²) = -10·log₁₀(1 - 0.3844) = -10·log₁₀(0.6156) ≈ 2.12 dB

정리하자면, Z_L=100+j100Ω (Z₀=50Ω)인 경우:

• |Γ| ≈ 0.62 (약 30°의 위상각)
• SWR ≈ 4.26
• 반사손실(Return Loss) ≈ 4.15 dB
• 미스매치 손실(Mismatch Loss) ≈ 2.12 dB