전자회로나 신호처리에서 필터는 원하는 주파수 성분은 통과시키고, 원하지 않는 주파수 성분은 감쇠시키는 회로 또는 알고리즘이다. 대표적인 아날로그/IIR 필터 설계 방식으로는 버터워스 필터(Butterworth Filter) 와 체비셰브 필터(Chebyshev Filter) 가 있다.
두 필터는 모두 저역통과 필터(LPF)를 기본 원형으로 설계한 뒤, 필요에 따라 고역통과(HPF), 대역통과(BPF), 대역저지(BSF) 형태로 변환해 사용할 수 있다. 또한 둘 다 대표적인 All-Pole 필터로 설명되는 경우가 많다.
1. 버터워스 필터란?
버터워스 필터는 통과대역이 최대한 평탄하도록 설계된 필터이다. 그래서 “maximally flat magnitude filter”라고도 부른다. 통과대역 안에서 리플이 거의 없고, 주파수 응답이 부드럽게 감소하는 것이 핵심 특징이다.
버터워스 저역통과 필터의 크기 응답은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.
여기서 N은 필터 차수, Ωc는 차단 각주파수이다. 차수가 높아질수록 차단 영역으로 넘어가는 기울기, 즉 스커트 특성이 더 가파르게 된다.
버터워스 필터의 특성
버터워스 필터의 가장 큰 장점은 통과대역 응답이 평탄하다는 점이다. 신호의 크기 왜곡을 최소화해야 하는 경우에 유리하다. 반면 체비셰브 필터에 비해 차단대역으로 넘어가는 전이대역이 넓고, 같은 차수에서는 롤오프가 상대적으로 완만하다.
즉, 버터워스 필터는 “깔끔하고 부드러운 필터”라고 볼 수 있다. 신호를 과격하게 자르기보다는 통과대역을 안정적으로 유지하면서 자연스럽게 감쇠시키는 방식이다.
2. 체비셰브 필터란?
체비셰브 필터는 더 가파른 롤오프를 얻기 위해 리플을 허용하는 필터이다. 같은 차수라면 버터워스 필터보다 전이대역이 좁고, 차단 주파수 이후 더 빠르게 감쇠할 수 있다.
체비셰브 필터는 크게 두 가지로 구분된다.
Type I 체비셰브
통과대역에 리플이 있고, 차단대역은 단조 감소
Type II 체비셰브
통과대역은 평탄하고, 차단대역에 리플이 있음
일반적으로 “체비셰브 필터”라고 하면 Type I을 의미하는 경우가 많다. Type I 체비셰브 필터는 통과대역에서 등리플, 즉 equiripple 특성을 가지며, 리플 크기는 ϵ값에 의해 결정된다.
체비셰브 필터의 크기 응답은 다음과 같이 표현된다.
여기서 ϵ은 리플 크기를 결정하는 계수이고, CNC_NCN은 체비셰브 다항식이다. 체비셰브 필터는 이 체비셰브 다항식을 이용하기 때문에 통과대역에 주기적인 리플 특성이 나타난다.
3. 두 필터의 핵심 차이
버터워스 필터와 체비셰브 필터의 차이는 결국 평탄도와 선택도 사이의 트레이드오프로 정리할 수 있다.
MathWorks 자료에서도 버터워스 필터는 통과대역이 평탄하고 전체적으로 단조적인 응답을 갖지만, 이 부드러운 응답의 대가로 롤오프가 느리며, 체비셰브 필터는 같은 차수에서 더 빠른 롤오프를 제공한다고 설명한다.
4. 버터워스 필터의 장단점
장점
버터워스 필터의 장점은 통과대역이 평탄하다는 것이다. 따라서 원하는 신호 대역 안에서 이득 변화가 작고, 신호 크기 왜곡을 줄이기 쉽다. 센서 신호, 오디오 신호, 계측 신호처럼 통과대역 내의 신호 형태를 비교적 자연스럽게 유지해야 하는 곳에 적합하다.
또한 응답이 단조적이기 때문에 설계 결과를 해석하기 쉽고, 일반적인 저역통과·고역통과·대역통과 필터 설계에서 널리 사용된다.
단점
단점은 스커트 특성이 체비셰브 필터보다 완만하다는 점이다. 즉, 원하는 주파수와 제거해야 할 주파수가 가까이 붙어 있는 경우에는 충분한 감쇠를 얻기 위해 더 높은 차수의 필터가 필요할 수 있다. 차수가 올라가면 회로에서는 부품 수, 손실, 오차 민감도, 위상 변화 등이 증가할 수 있다.
5. 체비셰브 필터의 장단점
장점
체비셰브 필터의 장점은 전이대역이 좁고 롤오프가 빠르다는 것이다. 같은 차수의 버터워스 필터보다 차단 주파수 이후 신호를 더 빠르게 줄일 수 있다. 따라서 인접 채널 간섭을 줄이거나, 특정 주파수 이후를 빠르게 감쇠시켜야 하는 RF/통신 회로에서 유용하다.
즉, 체비셰브 필터는 “조금의 리플을 감수하고 더 날카로운 선택도를 얻는 필터”라고 볼 수 있다.
단점
단점은 리플이다. Type I 체비셰브 필터는 통과대역에 리플이 존재하기 때문에 통과대역 내 신호 크기가 일정하지 않다. 또한 체비셰브 필터는 군지연(group delay)도 통과대역에서 요동칠 수 있어, 여러 주파수 성분이 서로 다른 지연을 겪고 파형 왜곡이 생길 수 있다.
따라서 파형 보존이 중요한 계측, 오디오, 정밀 센싱 용도에서는 체비셰브 필터를 사용할 때 리플과 위상 특성을 반드시 검토해야 한다.
6. 주로 사용되는 곳
버터워스 필터가 적합한 경우
버터워스 필터는 통과대역 내 신호를 최대한 평탄하게 유지해야 하는 경우에 적합하다.
대표적인 사용 예는 다음과 같다.
오디오 필터
센서 신호 필터링
계측 장비의 노이즈 제거
데이터 수집 장치의 저역통과 필터
통과대역 리플을 최소화해야 하는 일반 아날로그 필터
특히 “차단 특성이 아주 날카롭지 않아도 되지만, 통과대역 신호는 깨끗하게 유지해야 하는 경우”에는 버터워스 필터가 좋은 선택이다.
체비셰브 필터가 적합한 경우
체비셰브 필터는 제한된 차수로 더 가파른 감쇠 특성을 얻어야 하는 경우에 적합하다.
대표적인 사용 예는 다음과 같다.
RF 프론트엔드 필터
IF 필터
통신 시스템의 채널 선택 필터
인접 채널 간섭 제거
제한된 부품 수로 빠른 롤오프가 필요한 회로
특정 주파수 이후를 빠르게 억제해야 하는 필터
특히 RF 회로에서는 원하는 대역과 불요파 또는 인접 채널이 가까운 경우가 많기 때문에, 체비셰브 필터의 빠른 롤오프가 유리할 수 있다. 다만 통과대역 리플이 허용 가능한 수준인지 확인해야 한다.
7. 결론
버터워스 필터와 체비셰브 필터는 어느 하나가 절대적으로 더 좋은 필터가 아니다. 설계 목적에 따라 선택해야 한다.
통과대역의 평탄함이 중요하면 버터워스 필터가 유리하다. 신호 크기 왜곡이 작고 응답이 부드럽기 때문이다.
반대로 빠른 감쇠와 좁은 전이대역이 중요하면 체비셰브 필터가 유리하다. 같은 차수에서 더 가파른 롤오프를 얻을 수 있기 때문이다.
정리하면 다음과 같다.
버터워스 필터는 “평탄한 응답”을 중시하는 필터이고, 체비셰브 필터는 “빠른 감쇠와 선택도”를 중시하는 필터이다.
따라서 실제 회로 설계에서는 통과대역 리플 허용치, 차단대역 감쇠량, 필터 차수, 삽입손실, 위상 특성, 부품 공차까지 함께 고려해서 선택하는 것이 좋다.
